方程式と恒等式

結城浩のライトノベル的な啓蒙書「数学ガール」の中に，方程式と恒等式について，主人公が後輩に教えている場面があります．

「数学ガール」pp.30-31.

「じゃあ，文字と数式に関連した話題で，方程式と恒等式の話をしよう．テトラちゃんは，こういう方程式を解いたことがあるよね」

x-1=0

「ええ．あります．x=1ですね．」

「うん．x-1=0という方程式はそれで解けた．では，次の式は？」

2(x-1)=2x-2

「はい．式を整理して解いてみます」

2(x-1)=2x-2	問題の式
2x-2=2x-2	左辺を展開した
2x-2x-2+2=0	右辺を左辺に移項した
0=0	左辺を計算した

「あれ？　0=0になっちゃいました」

「実はこの2(x-1)=2x-2は方程式ではなくて恒等式なんだ．左辺2(x-1)を展開すると，右辺2x-2になるよね．つまり，この式はどんな数をxに代入しても成り立っている．恒に等しい式だから，これを恒等式という．厳密にはxについての恒等式」

「方程式と恒等式は違うんですか」

「違う．方程式は<ある数をxに入れると，この式は成り立つ>と主張している．

一方，恒等式は<どんな数をxに入れても，この式は成り立つ>と主張している．

ずいぶん違うよね．

方程式から自然に出てくるのは「この式を成り立たせる<ある数>を求めよ」という問題だ．

これは方程式を解く問題になる．

一方，恒等式から自然に出てくるのは「この式が<どんな数>でも成り立つのは本当か？」という問題だ．

これは恒等式を証明するという問題になる．」

「な．なるほど．．．そんな違い，意識していませんでした」

「うん．普通は意識しない．でも，意識した方がいい．公式として出てくる等式は，ほとんど恒等式だね」

「式を見れば，すぐに方程式か恒等式かはわかるんですか」

「すぐわかるときもあれば，わからないときもある．文脈から判断しなければならないときもある．つまり，この等式を書いた人は，どんなつもりでー方程式と恒等式のどっちのつもりでー書いたのかを読み取る必要がある」

「書いた人．．．」

1. 結城浩著，「数学ガール」，(ソフトバンククリエイティブ, 2007), pp.30-31.