QR分解, Gram-Schmidt直交化法

1. 導出の一般的な解説図．
   1. \(a_1\) から\(q_1\) に正規化
   2. \(a_2\) を\(q_1\) 方向へ射影(\(= q_1^Ta_2\))
   3. \(a_2\) から射影したベクトルを引く
2. \(q_1^T a_2\) が\(q_1\) および\(a_2\) への射影であることの確認
3. \(a_2\) から\(q_1\) まで
4. \(q_1, q_2\) が張る平面へ\(a_2\) を射影してそれを\(a_3\) から引く様子．

\(a_i\) と\(q_i\) を関連付ける式は，以下である． \[ a_i = (q_i^{\rm T} a_i)q_1+ \cdots + (q_{i-1}^{\rm T}a_i)q_{i-1} + \left\| \tilde{q_i} \right\| q_i \] ここで， \(\tilde{q_i}\) はグラム・シュミット法の step1を適用して得られたベクトルである． これを次のように書き直す． \[ a_i = R_{1i}q_1+ \cdots + R_{i-1 i}q_{i-1} + R_{ii} q_i \] ここで，\(i < j\) について \(R_{ij}=q_i^{\rm T}a_j\) であり， \(R_{ii}=\left\| \tilde{q_i} \right\|\) である． \(i > j\) のときは\(R_{ij}=0\) であると定義すると， 先ほどの式を以下の簡潔な行列の形で書くことができる． \[ A = QR \] 行列\(A\) を二つの行列\(Q\) と\(R\) の積で表すため， これは\(A\) のQR分解(QR factorization)と 呼ばれている．